Problema do tesouro 25/03/2007

Apesar de eu não gostar de problemas com muita historinha, este problema é um caso especial, pois consegui uma solução um bocado inesperada para ele. O problema é o seguinte:

Um grupo de piratas enterrou um tesouro em uma pequena ilha deserta onde só havia uma rocha, um coqueiro e uma caverna, da seguinte forma:

Partindo do coqueiro em linha reta na direção da caverna contando os passos, ao chegar na caverna, virando 90° a direita e andando a mesma distância em linha reta e marcando o ponto final. Partindo novamente do coqueiro e fazendo o procedimento análogo para a rocha, porém virando à esquerda e marcando o ponto final. Então finalmente pegando o ponto médio entre os dois primeiros encontrados e enterrando o tesouro.

Foi feito um mapa explicando a situação e lá foi deixado o tesouro. Muitos anos depois, pessoas voltaram com o mapa para buscar o tesouro, porém, o coqueiro não existia mais! Como encontrar o tesouro?



Para melhor entendimento segue um esquema geométrico:



O ponto A representa a localização do coqueiro, B para a caverna e C para a rocha. P é o ponto médio de DE, BD=AB e CE=AC.

Como encontrar o ponto P tendo apenas os pontos B e C (caverna e rocha)? Posto que o problema deve ter solução, então a posição do ponto P não deve depender de A. Então escolhendo um ponto A qualquer, seguindo as instruções do mapa, será possível encontrar o tesouro.

Matematicamente falando, como encontrar este ponto? Geometria analítica? Geometria métrica? Construção geométrica? Não, proponho uma solução por números complexos!

Podemos tomar um plano complexo com origem no ponto médio de BC e eixo dos reais sobre a reta BC como na figura a seguir:



Então temos um número real t tal que c = t e b = -t. Pela perpendicularidade dos segmentos que ligam os afixos de c e w, c e a, pode-se dizer que:

a - c = i(w - c) (i)


Pois a multiplicação de um complexo por i implica na rotação do seu afixo em 90° anti-horários. Analogamente para os segmentos que ligam a e b, b e z:

z - b = i(a - b) (ii)


Por outro lado, como o ponto p (onde estará o tesouro) é o ponto médio entre z e w, então:

p = \frac{z + w}{2} (iii)


Isolando z e w em (i) e (ii) temos:

z = b + i(a - b) = ia + (1 - i)b
w = c - i(a - c) = (1 + i)c - ia


Substituindo em (iii):

p = \frac{\cancel{ia} + (1 - i)b + (1 + i)c - \cancel{ia}}{2}
p = \frac{(1 - i)b + (1 + i)c}{2}
p = \frac{b + c + i(c - b)}{2}


Como b + c = 0 e c - b = 2t:

p = \frac{i2t}{2}
\boxed{p = it}


Isto significa que P está na posição como na figura seguinte:



Observe que o resultado não depende do ponto A tomado incialmente, como era esperado. Mas, pela multiplicidade de direções do problema (direita, esquerda), é possível que o ponto p seja p = -it (solução simétrica).

Finalmente, para encontrar o tesouro, basta tomar os vértices do quadrado com diagonal BC, em um deles o tesouro estará. Em outras palavras, o tesouro está sobre a mediatriz de BC distando do ponto médio de BC metade da distância de BC.

Moral da história: muitas vezes números complexos simplificam demais problemas que seriam complicados e trabalhosos se resolvidos por geometria analítica ou outros métodos.

Posted by Bruno Bonagura at 23:24 | [   ]

Fatoração difícil 24/03/2007

Fatorar a expressão (x+y+z)^3 + (x-y-z)^3 + (y-x-z)^3 + (z-x-y)^3.

Inicialmente esta parece uma expressão horrorosa e extremamente trabalhosa, realmente, se partir para o desenvolvimento dos cubos, será preciso muito papel! Porém, ao perceber de um simples fato, simplifica um bocado a solução do problema.

A soma dos termos que estão sendo elevados ao cubo é zero. Portanto, pode-se fazer a substituição:

\left \{ \begin{array}{k} a = x + y + z \\ b = x - y - z \\ c = y - x - z \\ d = z - x - y \end{array} \right.


Assim temos:
a+b+c+d=0


Agora algumas manipulações:
a+b = -(c+d)
(a+b)^3 = -(c+d)^3
a^3 + b^3 + 3a^2b + 3ab^2 = -c^3 - d^3 - 3c^2d - 3cd^2
a^3 + b^3 + c^3 + d^3 = -3ab(a+b) - 3cd(c+d)


Lembrando que a^3 + b^3 + c^3 + d^3 é a expressão a ser fatorada, agora calculemos ab, a+b, cd e c+d.

ab = (x+y+z)(x-y-z) = [x+(y + z)][x-(y + z)] = x^2 - (y+z)^2
a + b = x + y + z + x - y - z = 2x
cd = (y-x-z)(z-x-y) = (x-y+z)(x+y-z) =
= [x-(y-z)][x+(y-z)] = x^2 - (y-z)^2
c + d = y - x - z + z - x - y = -2x


Substituindo:
a^3 + b^3 + c^3 + d^3 = -3[x^2 - (y+z)^2](2x) - 3[x^2 - (y-z)^2](-2x)
a^3 + b^3 + c^3 + d^3 = 6x[-x^2 + (y+z)^2 + x^2 - (y-z)^2]
a^3 + b^3 + c^3 + d^3 = 6x[(y+z)^2 - (y-z)^2]
a^3 + b^3 + c^3 + d^3 = 6x(y^2+2yz+y^2 - y^2+2yz-z^2)
a^3 + b^3 + c^3 + d^3 = 6x(4yz)


Portanto, finalmente:
\boxed{(x+y+z)^3 + (x-y-z)^3 + (y-x-z)^3 + (z-x-y)^3 = 24xyz}


Posted by Bruno Bonagura at 18:29 | [   ]

Difficile est longum subito deponere amorem 16/03/2007

Este não é o último suspiro! Estive, talvez ainda esteja, num longo hiato criativo. Talvez a sistematização e comercialização do ensino tenha me trazido um dano enorme e causado a perda dos interesses de conhecimento que outrora aqui se demonstravam.

Novas são as jornadas, novos são os ânimos, ventos novos...

Espero aqui voltar a mostrar soluções interessantes de problemas comuns de matemática do ensino médio, assim como fazia no passado não muito distante. Também tentarei dar um pouco mais de espaço para a física e a filosofia.

Sapere Aude!

Posted by Bruno Bonagura at 21:53 | [   ]

Cálculo do volume de um elipsóide 24/07/2006

Vou deixar aqui um método para se calcular o volume limitado por um elipsóide de equação . Não é uma solução muito rigorosa matematicamente, mas é bem intuitiva para quem tem o conceito de integral.
Podemos considerar secções do elipsoide e integrar suas áreas para obter o volume. Um jeito de se fazer isso é considerar secções paralelas ao plano ( cte). Portanto, encontremos a equação da elipse em função de .






Portanto para cada valor de tal que , temos uma elipse de semi-eixo maior de medida e semi-eixo menor de medida . Então, a área das secções em função de será:

Pois a área de uma elipse de semi-eixo maior de medida e semi-eixo menor de medida é dada por . Assim, pode-se afirmar que o volume do elipsóide será:

Posted by Bruno Bonagura at 11:28 | [   ]

Sobre construção de Elipses 08/06/2006

A construção de uma elipse com uso de conceitos básicos de geometria plana é simples. Lembrando que a elipse é o lugar geométrico dos pontos cujo a soma das distâncias a dois pontos fixos distintos (focos) é uma constante (medida do eixo maior).

MÉTODO I



Dados os focos e e o comprimento do semi-eixo maior da elipse . Desenhemos uma circunferência com raio e centro em e tomemos um ponto genérico sobre a circunferência (esse ponto pode "andar" livremente por sobre a circunferência). Então desenhemos a mediatriz do segmento e teremos o ponto de intersecção entre ela e o segmento . Digo que o ponto é um ponto da elipse . Justificativa:

1. O raio da circunferência é , portanto
2. pertence a mediatriz de , logo
3. pertence ao segmento , então

Substituindo 2 em 3 temos , que é a definição da elipse, portanto .

MÉTODO II



Dados as medidas do eixo maior e do eixo menor da elipse , podemos desenha-la com centro na origem seguindo os seguintes passos. Desenhemos duas circunferências com centro na origem e raios e . Tomemos um ponto genérico sobre a circunferência maior e tracemos o segmento . Sendo o ponto de intersecção entre e a circunferência de raio , digo que o ponto de abcissa igual à de e ordenada igual à de pertence à elipse . Justificativa:

Sendo é o ângulo entre o segmento e o eixo x, temos:

e

Portanto , assim as equações paramétricas de são e , assim e . Pela relação fundamental da trigonometria vem:



O que é a conhecida equação da elipse .

Imagens construidas no Geogebra.

Posted by Bruno Bonagura at 10:33 | [   ]

Racionalização difícil 01/06/2006

Racionalizar a expressão com , e .

Solução:

Lembrando a fatoração que pode ser demonstrada pelo determinante seguinte:



Por outro lado:




Logo:



Assim podemos iniciar o processo de racionalização:









Finalmente obtemos o resultado racionalizado:



Obs.: Esse post foi originalmente publicado no antigo blog ciências exatas.

Posted by Bruno Bonagura at 09:51 | [   ]

Inércia do centro de massa 23/05/2006

Nesse post mostrarei que, para um sistema isolado de partículas interagindo entre si, a posição do centro de massa mantém o seu estado movimento, isto é, em movimento retilíneo uniforme ou em repouso.

Dado um sistema composto por partículas de massa e posição para , temos, por definição, que o vetor posição do centro de massa é dado por:



Rearrajando com :



Derivando em nos dois lados, vem:




Assim, dado que e , temos:



Logo:






Onde é o momento linear do sistema (quantidade de movimento) e é o momento linear de cada partícula. Como o sistema é isolado, então seu momento linear é constante. Pela equação destacada, podemos concluir que a velocidade do centro de massa, por consequência, será constante. Q.E.D.

Posted by Bruno Bonagura at 10:54 | [   ]

Sequências diferença 09/05/2006

Para reconhecer o padrão de uma sequência numérica, utiliza-se muito as diferenças finitas. As diferenças finitas são as diferenças entre termos consecutivos de uma sequência. Se nos fornecerem a sequência , pedindo para encontrarmos um padrão nela, o que fazemos sem sequer perceber? Utilizamos as diferenças finitas, vemos que a diferença de um termo com o seu anterior é sempre igual a 2, assim podemos supor que o próximo termo da sequência é 9. Mas e se nos dessem a sequência ? Podemos aplicar o mesmo processo. Veja que as diferenças são , e a diferença das diferenças cresce um a um.

Ao observar esse processo cognitivo, pensei mais profundamente e quis aplicar o rigor matemático no assunto. Toda vez em que aparece uma sequência onde as diferenças estão em primeiro grau, i.e. crescendo constantemente, afirmo que podemos encontrar os coeficientes reais , , tal que determinará a sequência que desejamos. Em outras palavras, se as diferenças finitas estão em primeiro grau, a sequência está em segundo grau. É fácil de confirmá-lo no sentido inverso, isto é, dada uma sequência que é determinada por um polinômio de segundo grau, sabe-se que as diferenças finitas serão determinadas por um polinômio de primeiro grau.

A afirmação vale para qualquer grau? Dado que as diferenças estão em grau podemos afirmar que a sequência está em grau ? A resposta é sim. Demonstrarei a seguir:

Dados:
1.
2.
3. com , i.e. é de k-ésimo grau em

Demonstremos que e o grau de é .

Podemos efetuar a soma membro-a-membro das seguintes igualdades:



Que resultará em:

Usando a notação de somatórios temos:



Mas dado que , vem:



Usando a notação do último post:



Foi demonstrado que o grau de é para qualquer natural. Portanto, podemos analizar o grau do polinômio . Sabendo que cada termo é um polinômio de grau em (como provado no último post) e que varia de a (k é o grau dado do polinômio ), sabemos que o termo de maior grau dessa soma ocorre quando , isto é, o termo de maior grau da soma é e possui grau . Como todos os outros termos têm grau menor que este termo, então a soma terá grau igual ao desse termo. Portanto o grau de vale e . Q.E.D.

Posted by Bruno Bonagura at 13:48 | [   ]

Um teorema importante 08/05/2006

Nesse post vou provar a seguinte proposição: A soma das k-ésimas potências dos primeiros naturais pode ser expressa como um polinômio de grau em . Essa proposição é de suma importância para muitos teoremas que a utilizam como base, inclusive a usarei no próximo post sobre sequências diferença. Lembrando que a soma das k-ésimas potências dos primeiros naturais é .

Na demonstração usarei as seguintes notações:

i) é a soma das k-ésimas potências dos n primeiros naturais.
ii) é a proposição: pode ser escrita como um polinômio de grau em .

A demonstração consiste em provar que a é válida para todo natural. Para isso, usarei o processo de indução finita, que é utilizado para provar a validade de uma proposição para todos os naturais.

Passo I
Sabe-se que a proposição é válida, pois que é um polinômio de grau 2. Essa é a fórmula para o somatório dos primeiros termos de uma progressão aritmética com termo inicial unitário e razão unitária. A demonstração para dela é conhecida e não a detalharei aqui.

Passo II
Adotemos como hipótese que a proposição é válida para um natural e provemos que isso implica que também seja válida, isto é, . Isso será feito com o seguinte processo:




Como sabemos, por hipótese, que pode ser escrita como um polinômio de grau , então podemos usar a fórmula para soma que foi demonstrada no último post:



Agora devemos analizar as duas parcelas da diferença. Na primeira parcela, sabemos que o grau de é , então o grau de é . A segunda parcela é um somatório de polinômios com grau , portanto como no máximo seu grau é ela não tem termo com grau . Assim, o grau de é e está provado que .

Portanto, está provado que: pode ser escrita como um polinômio de grau para todo . Q.E.D.

Posted by Bruno Bonagura at 10:42 | [   ]

Um pouco de auxílio algébrico 06/05/2006

Dada uma sequência qualquer e supondo conhecida a fórmula para sua soma. Encontremos uma fórmula para a seguinte soma:



Essa fórmula não só funcionará como um lema para o próximo post, onde provarei que a soma das n primeiras k-ésimas potências dos naturais é um polinômio de grau k+1 em n, mas também será uma outra demonstração para a fórmula do somatório do post anterior.

Usarei a seguinte simplificação na notação: .

A idéia foi "empilhar" novamente. Mas, desta vez, empilhar somas da sequência de modo que somadas resultarão na soma desejada . Observe a figura:



Somando tudo isso obtemos . Veja que na primeira coluna temos , na segunda e assim por diante. Mas, por outro lado, temos que a primeira linha é , a segunda é e assim por diante até que a última linha é . Portanto:



Rearranjando os termos:



Q.E.I


Corolário

Dada a fórmula encontrada acima, apliquemos na sequência . Isto é, utilizando o fato de , confirma-se facilmente o resultado obtido no post anterior.


Posted by Bruno Bonagura at 16:30 | [   ]

Empilhando quadrados 04/05/2006

Dada a soma , queremos encontrar uma fórmula em função de que a satisfaça. Já busquei pela internet demonstrações para essa soma, mas a maioria usa indução finita (que é na verdade apenas uma confirmação da fórmula já conhecida) ou um "insight" no triângulo de Pascal. A demonstração que vou expor não deixa de ser um "insight", mas creio que ela seja mais intuitiva que todas que eu já vi. Se alguém conhecer outra melhor, sinta-se à vontade para propor!

Sendo que estamos falando de uma soma de quadrados (número elevado a dois), por que não falar de soma de área de quadrados (figura geométrica)?

O segredo está em como dispor os quadrados para esclarecer a soma. Um modo que encontrei foi o seguinte (para ):



A área da figura em azul é igual a soma desejada, e podemos generalizar isso para quadrados. Isso nada nos esclarece, mas se acrescentarmos mais quadrados com a intenção de formar um retângulo, chegaremos ao objetivo da inspiração, mas este é o começo da transpiração! Observe a figura (para ):



Generalizando para , percebe-se que a base do retângulo é igual à soma dos primeiros naturais e a altura é o número de termos mais um. Então, basta encontrar a fórmula para a área em cinza , que obteremos a fórmula para a área em azul , pois sabemos a área do retângulo e . Então encontremos a área em cinza. Essa área será:



Observa-se que ela é o somatório das somas dos primeiros naturais. Mas sabemos que a soma dos primeiros naturais é dada pela fórmula . Portanto:



Devido às propriedades do somatório, temos:



Mas o termo nada mais é que a soma dos primeiros quadrados, isto é, a área em azul, a soma que estamos procurando. Já o termo é novamente a soma dos primeiros naturais. Assim, substituindo:

(1)


A fórmula para é fácil de ser descoberta. Dado que ela é igual à àrea do retângulo, a base é a soma dos primeiros naturais e a altura é , temos:

(2)


E finalmente podemos substituir (1) e (2) em , obtendo:




Q.E.I.

Posted by Bruno Bonagura at 16:29 | [   ]

Alguns termos formais e siglas 30/04/2006

Em artigos, livros e explicações científicas costuma-se usar alguns termos e siglas que listarei abaixo:

Teoria: "Do ponto de vista estritamente formal, o sistema de proposições em que não se encontram proposições contraditórias, nem nos axiomas, nem nos teoremas que deles se deduzem." (Aurélio)

Axioma ou Postulado: Não existe uma linha exata que diferencia um axioma de um postulado, então direi que eles são uma mesma coisa. Axioma ou postulado é aquilo que é previamente adotado como verdadeiro (sem demonstração) para a estruturação de uma teoria.

Teorema: Uma proposição lógica verdadeira que é demonstrável.

Lema:: Funciona como um teorema auxiliar que é previamente demonstrado para a demonstração de uma proposição principal.

Corolário: Uma proposição que deriva diretamente de uma que acabou de ser demonstrada. "Proposição que deriva, em um encadeamento dedutivo, de uma asserção precedente, produzindo um acréscimo de conhecimento por meio da explicitação de aspectos que, no enunciado anterior, se mantinham latentes ou obscuros" (Houaiss)

Escólio: Um comentário ou explicação para esclarecer melhor uma proposição que acabou de ser demonstrada.

i.e.: Sigla em latin que significa id est, em português: isto é.

Q.E.D.: Sigla em latin que significa Quod Erat Demonstrandum, em português: como queríamos demonstrar. Em alguns lugares se usa a sigla c.q.d., mas pessoalmente prefiro Q.E.D. pois é algo internancional e utilizado em muitos livros. Atualmente utiliza-se um quadrado no lugar desta sigla, com o mesmo significado.

Q.E.I.: Sigla em latin que significa Quod Erat Inveniendum, em portugês: como queríamos encontrar.

Q.E.F.: Sigla em latin que significa Quod Erat Faciendum , em portugês: como queríamos fazer.

Posted by Bruno Bonagura at 14:22 | [   ]

Interpolação de Sequências

Primeiramente, o que quero dizer com interpolação de sequências? Matematicamente quero dizer que:

Dadas duas sequências quaisquer e de números reais, a interpolação delas é a sequência dada por que chamarei de .

A questão é: Como podemos encontrar uma fórmula algébrica geral de em função de e ?

Um modo de encontrar essa fórmula segue o raciocínio: É possível observar que a sequência , obedece à seguinte propriedade:



Isto é, os termos de ordem ímpar de são os termos de e os termos de ordem par são os de . A princípio, isso é suficiente para definir a sequência com firmeza, mas queremos encontrar uma fórmula algébrica que defina . Com essa idéia, podemos definir a sequência do seguinte modo:



Sendo que e são sequências que obedecem as condições abaixo:





Observe que, para ímpar, teremos e , assim . Analogamente, para par, teremos , que é o resultado esperado. A intenção do uso de e é exatamente anular a primeira parcela da soma quando é par e anular a segunda para ímpar.

Como queremos encontrar uma fórmula algébrica que defina , precisamos das fórmulas algébricas de e . Para encontrá-las não há um método exato, mas um par de fórmulas possíveis é:




Assim, teremos:



E finalmente o resultado esperado, uma fórmula algébrica para :



Q.E.I.

Posted by Bruno Bonagura at 00:50 | [   ]

Demonstração da fórmula de Baskara 28/04/2006

Dada a equação tal que , encontrar os valores de que a satisfazem, em função de , e .









Posted by Bruno Bonagura at 19:27 | [   ]